lu분해 예제

By in Non classé on 2 août 2019

이 방정식 시스템은 미정입니다. 이 경우 L 및 U 행렬의 0이 아닌 두 요소는 솔루션의 매개 변수이며 임의로 0이 아닌 값으로 설정할 수 있습니다. 따라서, 독특한 LU 분해를 찾기 위해서는 L 및 U 매트릭스에 약간의 제한을 두어야 한다. 예를 들어, 하위 삼각형 행렬 L을 단위 삼각형 행렬로 편리하게 요구할 수 있습니다(즉, 주 대각선의 모든 항목을 대각선으로 설정). 그런 다음 방정식 의 시스템은 다음과 같은 해결책을 가지고 : 그것은 가우시안 제거의 수정 된 형태입니다. Cholesky 분해는 대칭, 포지티브 명확한 행렬에 대해서만 작동하지만 일반적인 LU 분해는 모든 제곱 행렬에 대해 작동합니다. 전체 피벗으로 LU 분해의 경우 det (A) {textstyle det (A)}는 S가 행 및 열 교환의 총 수를 허용하면 위의 방정식의 오른쪽과 같습니다. N – 1 단계 후, 우리는 메인 대각선 아래의 모든 행렬 요소를 제거, 그래서 우리는 상부 삼각형 행렬 A (N − 1)를 얻을 수 있습니다. 우리는 분해를 찾을 수 있는 (반드시 반전할 수 없는) 매트릭스는 모든 필드에 걸쳐, LU 분해가 있는 정확한 필요하고 충분한 조건이 알려져 있다. 조건은 특정 서브 매트릭스의 계급의 관점에서 표현된다. LU 분해를 얻기 위한 가우시안 제거 알고리즘도 이 가장 일반적인 사례로 확장되었습니다. [7]# 이제 매트릭스의 $LU $ 분해를 찾는 몇 가지 구체적인 예를 살펴 볼 것입니다. 여기서 L과 당신은 다시 아래쪽과 위쪽 삼각형 행렬이고 P는 순열 행렬이며, 왼쪽에서 A로 곱하면 A행의 순서가 다시 정렬됩니다.

모든 사각형 행렬이 이 형태로 팩터링될 수 있으며[2] 실제로 는 분해가 수치적으로 안정됩니다. [3] 이것은 LUP 분해를 실제로 유용한 기술로 만든다. 행렬 $A 대해 $LU= 분해를 찾습니다. 이 특정 예제에서 $U$의 세 번째 행은 모두 영점입니다. 이것은 $A$ 자체가 되돌릴 수 없다는 것을 의미합니다. 무작위 알고리즘을 사용하여 LU 분해에 대한 낮은 랭크 근사치를 찾을 수 있다. 입력 행렬 A {textstyle A} 및 원하는 낮은 순위 k {textstyle k} 주어진, 무작위 LU 반환 순열 행렬 P, Q {textstyle P,Q} 및 하단/상단 사다리꼴 행렬 L, U {textstyle L, U} 크기 m × k {textstyle mtimes k} 및 k n {textstyle k} mes n} 각각, 높은 확률로 [ P Q – L U ~ 2 ≤ C σ k + 1 {textstyle Vert PAQ-LUVert _{2}leq Csigma _{k+1}} k + 1) {textstyle (k+1)} 입력 행렬의 단수 값 {textstyle A} . [10] 이러한 분해를 Cholesky 분해라고 합니다. Cholesky 분해는 항상 존재하며 고유합니다 – 행렬이 양수 명확한 경우. 또한 Cholesky 분해를 계산하는 것은 다른 LU 분해를 계산하는 것보다 효율적이고 수치적으로 더 안정적입니다. L을 찾으려면 두 가지 방법이 있습니다. 첫 번째는 나머지 요소를 일부 인공 변수로 가정하고 A = L을 사용하여 방정식을 만들고 이를 해결하여 이러한 인공 변수를 찾는 것입니다.

다른 방법은 나머지 요소가 U 행렬에서 각 위치가 0이되었기 때문에 승수 계수라는 것입니다. (이 방법은 단어로 이해하기가 조금 까다롭지만 아래 예제에서 명확해질 것입니다.) 이 문제에 대한 해결책은 {displaystyle A}를 피벗하는 것입니다. 행을 다시 정렬한다는 것은 순열 행렬 P {displaystyle P}에 {displaystyle A}를 곱하는 것을 의미합니다.

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